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環論

•3 min•592 words
環論

定義

一個環 (Ring) 必須是存在一組非空集合RR，擁有兩組binary運算

  • R×R→R,(a,b)↦a+bR \times R \rightarrow R, (a, b) \mapsto a+b (加法運算)以及
  • R×R→R,(a,b)↦a⋅bR \times R \rightarrow R, (a, b) \mapsto a \cdot b (乘法運算)

使得一些條件像是

(i) (R,+)(R, +)屬於abelian (a+b=b+a)(a + b = b + a)，存在0 = 0R_{R}作為加法單位元素 (0+a=a+0=a)(0 + a = a + 0 = a).

(ii) a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅ca \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c，乘法運算存在相依性

(iii) a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c,(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c, (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c，同時存在分配律

其中一個條件是我們稱RR為unital\color{red}{unital}代表這個環擁有乘法單位元素 1 = 1R∈R_{R} \in R，意思即是1⋅a=a⋅\cdot a = a \cdot1 =a= a

而如果R存在可交換性 (commutative) 的話則滿足a⋅b=b⋅a,  ∀a,b∈Ra \cdot b = b \cdot a, \>\> \forall a, b \in R

範例

(0) 任何體 (field) 皆屬於環，同時也屬於Z\mathbb{Z}

(1) 當R=Z/nZR = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}整數群消掉nn倍的整數群時，加法運算當中(a+nZ)+(b+nZ):=a+b+nZ(a+n\mathbb{Z}) + (b + n\mathbb{Z}) := a+b + n\mathbb{Z}，而同時在乘法中(a+nZ)⋅(b+nZ):=ab+nZ.(a+n\mathbb{Z}) \cdot (b + n\mathbb{Z}) := ab + n\mathbb{Z}.

0R=nZ,1+R=1+nZ_{R} = n\mathbb{Z}, 1+{R} = 1 + n\mathbb{Z}，所以我們可以稱Z/n\mathbb{Z}/n, Z\mathbb{Z}是一個 unital commutative ring.

(2)在多項式 (polynomial) 環裡我們設RR為任意的環，R[x1,⋯ ,xn]=R[x_{1}, \cdots, x_{n}]=在RR之中多項式環存在nn組變數，這組RR的組成是∑i1,⋯ ,in≥0ai1,⋯ ,air⋅x1i1,⋯ ,xnin,  finite  sum,  ai1,⋯air∈R{\sum_{i_{1},\cdots,i_{n} \geq 0}a_{i_{1}},\cdots, a_{i_{r}} \cdot x_{1}^{i_{1}}, \cdots, x_{n}^{i_{n}}, \>\>finite \>\> sum, \>\> a_{i_{1}}, \cdots a_{i_{r}} \in R}

由ai1a_{i_{1}}到aira_{i_{r}}的係數與x1x_{1}到xnx_{n}的項次有限集合的組合

針對I=(i1,⋯ ,in)∈Z≥0nI = (i_{1}, \cdots, i_{n}) \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^{n}，variable的XX可以視為XI:=x1i1⋯xninX^{I} := x_{1}^{i_{1}} \cdots x_{n}^{i_{n}}此存在單項式特性 (monomial)

XI⋅XJ:=XI+JX^{I} \cdot X^{J} := X^{I+J}就能夠表示(x1i1⋯xnin)⋯(x1j1⋯xnjn):=x1i1+j1⋯xnin+jn⇒xi⋅xj=xj⋅xi.(x_{1}^{i_{1}} \cdots x_{n}^{i_{n}}) \cdots (x_{1}^{j_{1}} \cdots x_{n}^{j_{n}}) := x_{1}^{i_{1} + j_{1}} \cdots x_{n}^{i_{n} + j_{n}} \Rightarrow x_{i} \cdot x_{j} = x_{j} \cdot x_{i}.

任何f∈R[x1,⋯ ,cn]f \in R[x_{1}, \cdots, c_{n}]可以滿足於f=∑IaI⋅xI,  finite  sum,  aI∈Rf = \sum_{I} a_{I} \cdot x^{I}, \>\> finite \>\> sum, \>\> a_{I} \in R

aIa_{I}意思是ff中第II個係數

(∑IaI⋅xI)⋅(∑JbJ⋅xJ):=∑I,JaI⋅bJ⋅xI+J(\sum_{I} a_{I} \cdot x^{I}) \cdot (\sum_{J}b_{J} \cdot x^{J}) := \sum_{I, J}a_{I} \cdot b_{J} \cdot x^{I+J}

這樣就可以讓aI⋅bJa_{I} \cdot b_{J}在環上作乘法運算

(∑IaI⋅xI)+(∑JbJ⋅xJ):=∑I(aI+bI)⋅xI(\sum_{I} a_{I} \cdot x^{I}) + (\sum_{J}b_{J} \cdot x^{J}) := \sum_{I}(a_{I} + b_{I}) \cdot x^{I}

而這項即是滿足aI+bIa_{I}+b_{I}在環上的加法運算

  • RR存在可交換性 ⟺R[x1,⋯xn]\Longleftrightarrow R[x_{1}, \cdots x_{n}]存在可交換性

  • R屬於unital ⟺R[x1,⋯ ,xn]\Longleftrightarrow R[x_{1},\cdots, x_{n}]屬於unital